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À vous de jouer...


Exercice 1 Partie entière
Déterminez une procédure E(x) qui, à un réel positif $ x$, associe sa partie entière.


Exercice 2 Valeur absolue
Déterminez une procédure ab(x) qui, à un réel $ x$, associe sa valeur absolue.


Exercice 3 Moyenne
Déterminez une procédure moy(l) permettant de calculer la moyenne des éléments d'une liste l de nombres réels. Il faut commencer par calculer la somme des opérandes de la liste puis diviser par le nombre d'opérandes de la liste.


Exercice 4 Somme
Vous savez peut-être que la suite $ (S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de terme général

$\displaystyle S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^n\displaystyle\frac {1}{k!}$

est croissante et converge vers $ e$. Nous l'admettrons dans cet exercice.
  1. Déterminez une procédure S(n) qui, à un entier naturel $ n$, associe $ S_n$.
  2. Déterminez une procédure seuil(p) qui, à un entier naturel $ p$, associe le plus petit entier naturel $ n$ tel que $ \vert S_n-e\vert\leqslant 10^{-p}$. Vous aurez besoin de savoir que $ e$ se dit exp(1) en Xcas.


Exercice 5 Équation du second degré
Déterminez une procédure sol(a,b,c) qui, à une équation $ ax^2+bx+c=0$, associe son ensemble des solutions.


Exercice 6 test sur une liste
Déterminez une procédure test(l), l étant une liste d'entiers, qui teste si ses éléments forment une suite croissante.


Exercice 7 Étude des branches infinies
Nous allons écrire un programme étudiant les branches infinies d'une fonction numérique. Voici un bref rappel de cours : si $ f(x)/x$ admet une limite finie $ a$ en l'infini et si $ f(x)-ax$ admet une limite finie $ b$, alors $ C_f$ admet la droite $ D$ d'équation $ y=ax+b$ comme asymptote au voisinage de l'infini.

Il va falloir utiliser pas mal de tests if. Il va d'abord falloir demander à XCAS de calculer des limites. Il sait faire :

> limit(sin(x)/x,x=0); limit(1/sqrt(x),x=0); limit(sin(x)/x,x=+infinity); limit(sin(x),x=+infinity);

Ensuite, il va falloir tester la réponse : $ a$ est réel ou infini ? La limite existe ou n'existe pas ?

Nous allons maintenant construire une procédure branche(f) qui renvoie l'éventuelle asymptote de la courbe $ C_f$. Elle contiendra deux variables locales $ a$ et $ b$. Nous utiliserons l'instruction return qui quitte la procédure et évite les else. Je vous livre le début

> branche(f):={

> local a,b;

> a:=limit(f(x)/x,x=+infinity):

> if (a==undef) return "pas d'asymptote";
$ \vdots$
return "asymptote d'equation y=("+a+")*x+"+b;
}

À vous d'imaginer ce qui manque...

On rentrera ensuite par exemple branche(x->(x^3+9)/(x^2-1))


Exercice 8 Autres pistes...
Á vous d'imaginer un programme qui étudie la dérivabilité d'une fonction $ f$ en un point, le sens de variation d'une fonction, la résolution de l'équation $ x^3+px+q$ à la Bombelli-Cardano, etc.


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moi 2005-10-12