VI. Les Complexes (I) new

Pourquoi utilise-t-on les complexes ?

pour résoudre des équations

• Combien l'équation x³ +px+q=0 a-t-elle de solutions dans R
• Résolvons cette équation

Pour compter en dimension 2

Vocabulaire et premières propriétés

Forme algébrique

A quoi sert l'unicité de la forme algébrique ?

Le plan complexe

Premiers calculs "géométriques"

Conjugué d'un complexe

A quoi servent les conjugués

• A montrer qu'un complexe est un réel
• A rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes algébriques

Module d'un nombre complexe

• Interprétation géométrique
• Propriétés des modules

Résolution d'équations du second degré

Racine carrée d'un complexe

Résolution de ax²+bx+c=0 avec a,b et c réels

Forme trigonométrique

Argument d'un complexe non nul

• Forme trigo
• Congruence modulo 2Pi
• Mesure d'un angle de vecteurs
• Relation entre forme trigo et forme algébrique
• Des formes trigo de référence

Opérations sur les formes trigo

Les objets géométriques et les complexes

De l'objet au complexe

Du complexe à l'objet

Exercices

• Problème ouvert : calcul de cos(pi/8) et sin(pi/8)
• Les fractales : dessins du tapis et du tamis de Sierpinski
• Géométrie, complexes, fonctions, électronique : qui dit mieux ?

Recettes à Bac : complexes

• Qu'appelle-t-on forme algébrique d'un nombre complexe ?
• Que représente z-32+5i ?
• Que faire de |32+iz| ?
• Comment mettre en évidence qu'un complexe est un réel ?
• Comment traduire qu'un complexe est un imaginaire pur ?
• Que se cache-t-il derrière le quotient (c-a)/(b-a) ?
• Triangle rectangle et cercle circonscrit
• Comment caractériser géométriquement l'égalité |z-a|=|z-b| ?
• Comment détermine-t-on les racines carrées de x+iy ?
• Comment résoudre une équation du type ax²+bx+c=0 ?
• Comment rendre réel un dénominateur imaginaie ?
• Comment reconnaître certaines transformations du plan ?
• Une factorisation pratique de 1+exp(ia)

Des exercices de Bac